Прессование и обработка пластиковых материалов Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов

Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов

 

Континуальные теории неупругого деформирования пористых и порошковых материалов строятся на результатах структурного моделирования. Макроскопические характеристики квазиоднородных несплошных тел получаются в результате осреднения локальных характеристик материала по принятому представительному объему, поэтому способ осреднения в итоге определяет адекватность континуальных моделей механического поведения пористых и порошковых тел.

 

При конструировании реологических моделей несплошных тел поровое пространство наделяют нулевыми материальными константами и мощность диссипируемой энергии связывают только с пластической или вязкой деформацией вещества. Статистическое осреднение локальных напряжений и скоростей деформаций проводят по всему объему твердой фазы. Объем, по которому выполнено осреднение силовых или кинематических параметров, находится в однородном напряженно-деформированном состоянии (НДС), поэтому осреднение по всему объему вещества несплошного тела означает, что независимо от вида макроскопической деформации все вещество испытывает однородную деформацию растяжения-сжатия или сдвига. В рамках этой модели диссипативные функции несплошного тела D и его вещества с однородным НДС Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов будут связаны зависимостью

                                            Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов,                                       (3.37)

где r – объемная доля твердой фазы или относительная плотность. Из (3.37) следует эллиптическое условие пластичности для сжимаемых пористых тел с идеально-пластической твердой фазой

                                       Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов,                                  (3.38)

где s – среднее напряжение; Т – интенсивность касательных напряжений сдвига; t0 – предел текучести на сдвиг вещества твердой фазы; y, j  – функции относительной плотности r. В (3.38) интенсивность касательных напряжений сдвига Т определяется через компоненты девиатора напряжений sij соотношением Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов и отличается от используемой в интенсивности касательных напряжений Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов. Это приводит к появлению множителя 2 перед функцией y. При допущении об однородности полей деформаций или напряжений во всем объеме твердой фазы условие пластичности, аналогичное условию (3.38), получается как в рамках стохастических моделей [16, 46, 120, 169, 190], так и при обобщении гипотезы Бельтрами на пористые тела.

Условие пластичности (3.38) часто применяют для порошков при схемах деформирования в замкнутых объемах с преобладанием сжимающих нагрузок. В разд. 1 отмечалось, что условие пластичности (3.38) не удовлетворяет граничным условиям по напряжениям для насыпной плотности порошка, когда r = r0. Так, в этом состоянии пластическая деформация порошка начинается при произвольно малых нагрузках, а из (3.38) следует, что для состояния насыпной плотности сопротивление порошка чистому сдвигу Т отлично от нуля: Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов. Следовательно, структурная модель с осреднением локальных силовых и кинематических параметров по всему объему твердой фазы не может быть использована для порошкового тела.

Следуя работе, рассмотрим вариант структурной модели, учитывающий дискретно-контактную природу пластического деформирования порошковых тел.

Пусть порошковое тело нагружено однородным полем макронапряжений sij. Примем, что межчастичного скольжения нет, и уплотнение происходит за счет пластической деформации частиц. Выделим элементарную ячейку объемом V, в которую вписана деформированная частица порошка объемом V0. Мощность диссипации порошкового тела в ячейке при однородном поле макронапряжений будет равна

                                     Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов,                                (3.39)

где D – удельная мощность диссипации порошкового тела; Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов, Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов– тензоры действительного неоднородного поля микроскопических напряжений и скоростей пластических деформаций в веществе ячейки. Вместо неоднородного поля напряжений Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов и скоростей деформаций Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов введем эквивалентное ему однородное поле напряжений Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов и скоростей деформаций Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов. Пусть новое поле силовых и кинематических параметров занимает в веществе ячейки объем Va, причем Va £ V0. Условие эквивалентного перехода сформулируем в виде равенства мощности диссипации действительных неоднородных и эквивалентных им однородных полей напряжений и скоростей деформаций:

                                 Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов.                            (3.40)

Подынтегральное произведение в левой части (3.40) представляет собой диссипативную функцию пластического вещества Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов с однородным НДС. С учетом (3.40) тождественное равенство диссипативных функций ячейки порошкового тела D и вещества ячейки Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов запишется в виде

                                            Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов,                                       (3.41)

где Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов- объемная доля вещества ячейки с однородными полями микроскопических напряжений и скоростей пластических деформаций.

Рассмотрим основное энергетическое уравнение для материального элемента объемом Va и поверхностью Sa:

                                 Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов,                            (3.42)

Подпись:
Р и с. 3.3. Схема деформирования
 частицы порошка
где Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов – поверхностные напряжения; Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов – скорости перемещения. Из (3.42) следует, что объем Va будет ограничен контактными площадками, на которых Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов¹ 0. Для уточнения формы контактных объемов сечением А, параллельным контактной площадке и удаленным от нее на расстояние z = h, выделим элемент частицы (рис. 3.3). Напряжения Структурная модель неупругого деформирования порошковых материаловна контактной площадке площадью Sк и нормалью n представим в виде суммы векторов нормальных Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов и касательных Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов напряжений, приложенных в центре тяжести площадки. Внутри сечения А находится область площадью a с однородным НДС, которое характеризуется векторами нормальных Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов и касательных Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов напряжений. Векторы Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалови Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов приложены в центре тяжести площадки a. Для однородного НДС должны выполняться следующие условия:

                        Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов; Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов.                   (3.43)

Выясним, какой вид деформации частицы отвечает условиям однородности. С сечением А свяжем систему декартовых координат, направив ось z вдоль вектора Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов, а ось у – параллельно вектору Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов. Из уравнения равновесия элемента

                         Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов; Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов                    (3.44)

следует, что касательные напряжения на контактной площадке Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов вызывают изгиб и неоднородное распределение нормальных напряжений Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов по области a. Кроме того, напряжения изгиба Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов возрастают пропорционально расстоянию h, поэтому при принятом допущении об однородном НДС контактные площадки должны быть свободны от касательных напряжений, и элемент частицы испытывает только центральное одноосное сжатие.

Для определения формы площадки a свяжем с контактной площадкой Sк систему декартовых координат, направив ось z параллельно вектору Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов. Начало координат поместим в произвольную точку границы контактной площадки (рис. 3.4). Положение центров тяжести площадок в принятой системе координат определяют радиус-векторы rcк и rca. Векторы r0к и r0a, равные и противоположные векторам rcк и rca, в системе координат, связанной с центром тяжести, характеризуют форму площадок, поэтому координаты центров тяжести, взятые с противоположным знаком, будут однозначно соответствовать координатам точек границ площадок. Координаты центра тяжести Сa(хсa, усa, h) площадки a и центра тяжести Ск(хск, уск, 0) площадки Sк определим из следующих уравнений равновесия:

                           Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов;Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов;

                      Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов; Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов;                (3.45)

                      Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов; Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов.

Учитывая, что Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов=Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов, получим, что центры тяжести площадок имеют одинаковые координаты х, у

 

                                    Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов, Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов                               (3.46)

 

и находятся на общей нормали к площадкам. Аналогичным образом будут расположены любые две точки границ площадок Sк и a, и эти площадки имеют одинаковую форму. Следовательно, вещество ячейки с однородным НДС будет находиться внутри прямого цилиндра с контактной площадкой в основании (рис. 3.5).

 

Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов     Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов

Р и с. 3.4. Схема деформирования    частицы    порошка  нор -

мальными напряжениями

Р и с. 3.5. Схема одноосного

сжатия частицы порошка

 

 

Таким образом, в связи с локальным нагружением частицы через контактную площадку единичный объем осреднения кинематических и силовых параметров представляет собой прямой цилиндр с контактной площадкой в основании. Суммарный объем осреднения Va будет состоять из совокупности цилиндров, построенных на всех контактных площадках частицы и имеющих общее ядро, образованное пересечением образующих цилиндров. В целом пластически деформируемое порошковое тело представляет собой хаотично ориентированную контактно-стержневую систему, которая состоит из цилиндров, контактирующих своими основаниями, и испытывает однородную деформацию растяжения-сжатия (рис. 3.6).

 

a

 
Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов

r

 
Структурная модель неупругого деформирования порошковых материаловСтруктурная модель неупругого деформирования порошковых материалов

 

а

 

r

 
Структурная модель неупругого деформирования порошковых материаловСтруктурная модель неупругого деформирования порошковых материалов

 

б

Р и с. 3.6. Структурные модели деформируемого порошкового тела с осреднением по контактному (а) и полному (б) объемам вещества

 

При установлении количественной связи между диссипативными функциями порошкового тела D и вещества ячейки Da не требуется выполнять прямое вычисление объема Va. Для этого достаточно знать долю контактного объема a. Вероятностный анализ структурных характеристик порошковых материалов выполнен в. Согласно М.Ю. Бальшину доля контактного объема a для текущей относительной плотности r составляет

 

                                     Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов.                                (3.47)

 

Зависимость a(r), полученная Г.Н. Ждановичем, имеет следующий вид:

                                  Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов.                             (3.48)

Здесь b – эмпирическая константа, которая для моносферических порошков равна b = 1. Уравнение, аналогичное уравнению (3.47) при b = 1, получено в из модели уплотнения за счет роста радиусов сферических частиц вокруг фиксированных центров с дальнейшим перекрытием сфер и образованием шеек контакта. В состоянии насыпной плотности (r = r0) объемная доля пластически деформируемого вещества a = 0 и, согласно (3.41), диссипативная функция D порошкового тела также равна нулю. Тем самым обеспечивается выполнение граничных условий по сопротивлению деформации для начального насыпного состояния порошка.

В работе показано, что уравнения (3.47) и (3.48) являются вариантами решения одного и того же дифференциального уравнения, составленного на основе общих представлений о статистическом характере контактного взаимодействия частиц. Уравнение (3.47) получено при условии, что в процессе уплотнения возможно не только образование, но и разрыв контактов частиц. Зависимость (3.48) следует из предположения, что при деформации происходит лишь увеличение каждого единичного контактного сечения частиц при их сближении. Расчетные значения a, полученные по формулам (3.47) и (3.48), близки и различаются не более чем на 10% (рис. 3.7). Однако преимущество уравнения М.Ю. Бальшина (3.47) состоит в том, что при определении эмпирической константы b оно легко линеаризуется.

 

Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов

Р и с. 3.7. Зависимость объемной доли контактного

объема от относительной плотности:

1 – уравнение М.Ю. Бальшина; 2 – уравнение Г.Н. Ждановича

 

Для решения краевых задач пластического деформирования порошковых тел необходимо знать определяющие соотношения между макроскопическими напряжениями Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов и скоростями деформации Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов. Зависимость Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов следует из определения диссипативной функции:

                                           Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов.                                      (3.49)

С учетом (3.41) уравнение (3.49) запишется следующим образом:

                                         Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов.                                    (3.50)

Чтобы воспользоваться соотношением (3.50), необходимо установить функциональную зависимость между диссипативной функцией вещества Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов и макроскопическими скоростями деформации порошкового тела Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов с различной реологией твердой фазы. Диссипативная функция Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов выражается через интенсивность скоростей деформации сдвига несжимаемого вещества w и его реологические константы:

линейно-вязкое тело

                                         Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов;                                (3.51, а)

идеально-пластическое тело

                                           Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов;                                   (3.51, б)

нелинейно-вязкое тело

                                     Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов.                             (3.51, в)

Диссипативная функция нелинейно-вязкого тела (3.51, в) следует из степенного закона сопротивления вязкому течению Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов.

В итоге задача сводится к определению зависимости интенсивности микроскопической скорости деформации сдвига w от макроскопических скоростей деформации Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов. Для определения искомой связи w(Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов) воспользуемся теорией вязкого и пластического течения пористых тел, изложенной в работах. В основу теории положена следующая гипотеза: зависимость осредненной интенсивности скоростей деформации сдвига твердой фазы w от макроскопических скоростей деформаций Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов инвариантна относительно реологических свойств твердой фазы. На основании этой гипотезы находится зависимость w(Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов) для линейно-вязкого тела, а затем выполняется обобщение на тела другой реологии.

Для линейно-вязкого сжимаемого материала диссипативная функция имеет вид

                                     Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов,                                (3.52)

где е – макроскопическая скорость объемной деформации; Н – интенсивность макроскопических скоростей деформации сдвига; z, h – коэффициенты объемной и сдвиговой вязкости. Коэффициенты вязкости z и h пористого тела выражаются через коэффициент сдвиговой вязкости вещества h0 и функции пористости. В разд. 1 уже указывалось, что в настоящей работе используются функции y и j, полученные В.В. Скороходом методом самосогласования. В этом случае коэффициенты вязкости z и h связаны с функциями пористости зависимостями

                                    Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов; Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов                               (3.53)

и функции y и j имеют вид

                                   Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов; Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов.                              (3.54)

После подстановки в соотношение (3.41) зависимостей (3.51, а), (3.52) и (3.53) найдем выражение w(Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов) для линейно-вязкого порошкового тела:

 

                                  Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов.                             (3.55)

Определяющие уравнения порошковых тел с различной реологией твердой фазы получим из (3.50) с учетом зависимостей (3.51) и (3.55):

линейно-вязкое тело

 

                          Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов;Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов                     (3.56)

идеально-пластическое тело

 

                   Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов;              (3.57)

нелинейно-вязкое тело

 

               Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов.          (3.58)

Из определяющих соотношений (3.57) несложно получить условие пластичности порошкового тела с идеально-пластической твердой фазой:

                                       Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов.                                  (3.59)

Уравнение (3.59) описывает только процесс уплотнения порошка по механизму пластического сдвига частиц.

Следует отметить, что в определяющие уравнения для линейно-вязкого порошкового тела не входит параметр a, который характеризует количество вещества, диссипирующего механическую энергию. Определяющие уравнения (3.56) идентичны уравнениям, полученным в при осреднении по всему объему твердой фазы, количественной мерой которого служит относительная плотность r. Таким образом, линейно-вязкое сжимаемое тело оказалось инвариантно к способу осреднения локальных напряжений и скоростей деформаций по объему вещества. Этот результат следует связать с квадратичной формой диссипативной функции линейно-вязкого тела. Для идеально-пластического и нелинейно-вязкого порошков, находящихся в состоянии насыпной плотности, когда a = 0, деформирующие напряжения равны нулю. Так как для порошкового тела диссипация имеет место при a > 0, то уравнение (3.56) можно применять только при плотности, большей, чем насыпная плотность.

В качестве экспериментальной проверки предложенной структурной модели пластически деформируемого порошкового тела рассмотрим процесс изостатического прессования металлических порошков. На рис. 3.8 приведены опытные данные по уплотнению при изостатическом прессовании сферических порошков свинца и олова, взятые из работы. На этом же рисунке представлены зависимости между относительной плотностью r порошка и относительным давлением p/2t0, рассчитанные по условиям пластичности (3.38), (3.59) и уравнению изостатического прессования, предложенному в:

                                   Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов.                              (3.60)

Для расчета объемной доли пластически деформируемого вещества a в (3.59) использовалась зависимость (3.47). Относительная насыпная плотность r0 принималась r0 = 0,5 (получено экстраполяцией опытных данных для олова) и значение показателя степени
b = 1. Из рис. 3.8 видно, что наилучшее соответствие расчетных и экспериментальных данных во всем диапазоне изменения плотности показывает контактно-стержневая модель и связанное с ней условие пластичности (3.59). Расхождение расчетных и экспериментальных данных для порошка свинца следует связать с более низкой, чем
r0 = 0,5, насыпной плотностью этого материала.

Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов

r/2t0

 
Структурная модель неупругого деформирования порошковых материалов

 

Р и с. 3.8. Зависимость относительного давления

 изостатического прессования от относительной

 плотности порошков:

1 – расчет по (3.38); 2 – расчет по (3.60);

3 – расчет по (3.59); 

эксперимент: · – олово; o – свинец

 

Величина давления при уплотнении порошкового тела пропорциональна объемной доле пластически деформируемого вещества. Структурные модели, из которых следуют уравнения (3.38) и (3.60), не учитывают локализацию пластического течения при контактном взаимодействии частиц и предполагают пластическое деформирование всего объема вещества, поэтому расчет по уравнениям (3.38) и (3.60) показывает более высокие значения относительного давления по сравнению с экспериментом. Соответственно осреднение микроскопических параметров по всему объему твердой фазы дает верхнюю оценку, а осреднение в пределах контактных объемов частиц – нижнюю оценку макроскопических свойств порошкового материала.

/tr

Рейтинг@Mail.ru

Яндекс.Метрика