Прессование и обработка пластиковых материалов Математическая постановка краевой задачи изотермического пластического деформирования со смешанными граничными условиями

Математическая постановка краевой задачи изотермического пластического деформирования со смешанными граничными условиями

 

Краевая задача пластического деформирования при СВС-прессовании состоит в следующем. Горячая пористая нелинейно-вязкая заготовка, имеющая форму круглой пластины, помещена в оболочку из сыпучего материала и в жесткую закрытую цилиндрическую матрицу. Заданы температура и начальная относительная плотность заготовки и оболочки. Заготовку вместе с оболочкой сжимают жестким пуансоном, который перемещается с заданной скоростью v0 и развивает максимальное усилие прессования q. Скорость v0 мала, и поле напряжений удовлетворяет условию квазистатичности. Реологические свойства материала заготовки и оболочки известны. На границе оболочки с инструментом действуют силы трения. Скольжение оболочки относительно заготовки происходит без трения. Требуется определить конечные размеры и распределение плотности в материале заготовки при усилии прессования q.

Для описания процесса деформирования используется континуальная теория пластического течения сжимаемых сред. Решение сформулированной задачи состоит в нахождении в каждый момент времени t вектора скоростей v(x, t) и плотности r (x, t) точек деформируемой среды, положение которых в пространстве определяется радиусом-вектором x. При осесимметричном деформировании положение точек однозначно определяется двумя цилиндрическими координатами: r и z; поле скоростей – двумя компонентами вектора v: осевой скоростью vz(r, z, t) и радиальной скоростью vr(r, z, t). В связи с осевой симметрией рассматривается только меридиональное сечение (рис. 4.4).

Подпись:
Р и с. 4.4. Расчетная схема процесса СВС-прессования:
1 – заготовка; 2 – оболочка; 3 – пуансон;
 4 – матрица
Математическая постановка задачи включает:

1) кинематические соотношения Коши

Математическая постановка краевой задачи изотермического пластического деформирования со смешанными граничными условиями; (4.18)

2) уравнение неразрывности

Математическая постановка краевой задачи изотермического пластического деформирования со смешанными граничными условиями;  (4.19)

3) уравнения равновесия

                                            Математическая постановка краевой задачи изотермического пластического деформирования со смешанными граничными условиями;                                       (4.20)

4) определяющие соотношения между тензором напряжений sij и тензором скоростей деформаций eij для пористой нелинейно-вязкой заготовки

             Математическая постановка краевой задачи изотермического пластического деформирования со смешанными граничными условиями        (4.21)

и для сыпучей оболочки

                   Математическая постановка краевой задачи изотермического пластического деформирования со смешанными граничными условиями.              (4.22)

Параметры a1 в (4.21) и a2 в (4.22) принимаются равными

                Математическая постановка краевой задачи изотермического пластического деформирования со смешанными граничными условиями Математическая постановка краевой задачи изотермического пластического деформирования со смешанными граничными условиями,           (4.23)

где r0 – насыпная плотность. В отличие от несжимаемых тел в определяющие уравнения уплотняемых тел в качестве структурного параметра входит плотность, изменение которой регулируется уравнением неразрывности.

Уравнения (4.18) - (4.23) образуют замкнутую систему уравнений с тремя неизвестными: плотностью r(x, t) и двумя компонентами поля скоростей v(x, t): vz(r, z, t) и vr(r, z, t). Система уравнений (4.18) - (4.23) дополняется начальными и граничными условиями.

Начальные условия задают начальное распределение плотности в заготовке 1 и оболочке 2. Принималось, что в начальный момент времени относительная плотность по объему заготовки и оболочки распределена однородно:

 

                               r1(x, 0) = r10;  r2(x, 0) = r20.                         (4.24)

 

Рассмотрим граничные условия. Кинематические граничные условия отражают условие непроницаемости на внешней границе оболочки (см. рис. 4.1):

 

       vr(0, z, t) = 0;  vz(r, 0, t) = 0;  vz(r, h, t) = - v0;  vr(RМ, z, t) = 0. (4.25)

 

На границе «заготовка-оболочка» условие полного сцепления представляет собой равенство скоростей на всей поверхности контакта: vк1(x, t) = vк2(x, t). В отсутствие сил трения условие контактного взаимодействия  на границе заготовки и оболочки представляет собой равенство нормальных компонент скоростей на всей поверхности контакта:

 

                                      vn1(x, t) = vn2(x, t).                                 (4.26)

 

На внешней границе оболочки при наличии трения имеют место смешанные граничные условия. Кинематическая часть граничных условий представляет собой условие непроницаемости:

 

   vr(r2, z, t) = 0; vz(r, 0, t) = 0; vz(r, h, t) = - v0; vr(R2, z, t) = 0.         (4.27)

 

Статическая часть граничных условий выражается законом трения на контактной поверхности через соотношение между нормальной sn и касательной t составляющими вектора поверхностных напряжений. При малых нормальных давлениях действует закон трения Кулона: удельная сила трения скольжения tск пропорциональна нормальному давлению sn : Математическая постановка краевой задачи изотермического пластического деформирования со смешанными граничными условиями, где fтр – коэффициент трения. С увеличением плотности коэффициент трения Кулона возрастает и зависимость fтр(r) имеет вид (3.91):Математическая постановка краевой задачи изотермического пластического деформирования со смешанными граничными условиями.

Величина tск не может превышать максимального значения tmax, допускаемого условием текучести. Следуя работе, положим, что tmax равно пределу текучести дисперсной среды на чистый сдвиг:
tmax = tсд (закон трения Прандтля). Тогда при скольжении песчаной оболочки по внутренней поверхности инструмента будем иметь

                           Математическая постановка краевой задачи изотермического пластического деформирования со смешанными граничными условиямиМатематическая постановка краевой задачи изотермического пластического деформирования со смешанными граничными условиямиМатематическая постановка краевой задачи изотермического пластического деформирования со смешанными граничными условиями                      (4.28)

Удельная сила трения tсд принимается пропорциональной площади живого сечения. В рамках используемой реологической модели (4.15) живое сечение порошкового тела численно равно относительной доле контактного объема a2. Тогда напряжение tсд будет равно tсд = atS, где tS – максимальный предел текучести на сдвиг дисперсной среды. При чистом сдвиге s = 0, и из определяющих соотношений (4.22) следует Математическая постановка краевой задачи изотермического пластического деформирования со смешанными граничными условиями. С учетом выражения для функции плотности j получим величину удельной силы трения tсд:

                                        Математическая постановка краевой задачи изотермического пластического деформирования со смешанными граничными условиями.                                   (4.29)

Для решения поставленной краевой задачи пластического деформирования со смешанными граничными условиями в работах использовался энергетический метод верхней оценки. Деформируемый объем разбивался на отдельные блоки – заготовка и три характерных блока песчаной оболочки. Кинематически допустимое поле скоростей задавалось из условия однородности скорости объемной деформации в пределах каждого блока. В модели учитывалось внешнее трение оболочки по закону Прандтля. Было получено хорошее соответствие расчетных и экспериментальных данных по кинетике изменения высоты средней части заготовки для трех СВС-композиций системы TiC-Ni.

Возможности энергетического метода позволяют рассчитать среднюю плотность и пропорциональное изменение геометрических размеров без искажения формы СВС-прессованной заготовки. В реальном процессе неоднородное распределение температуры и реологических свойств по объему заготовки приводит к существенному искажению ее формы. Кроме того, различие реологических свойств продуктов синтеза и оболочки также обуславливает неоднородность напряженно-деформированного состояния при СВС-прессовании. Соответственно для описания закономерностей неоднородного деформирования необходимо использовать численные методы. Численное решение краевой задачи пластического деформирования при СВС-прессовании методом конечных элементов получено в работах, ставших основанием дальнейшего изложения материала.

 

 


Рейтинг@Mail.ru

Яндекс.Метрика