Прессование и обработка пластиковых материалов Математическая постановка краевых задач теплообмена и пластического деформирования крупногабаритных колец

Математическая постановка краевых задач теплообмена и пластического деформирования крупногабаритных колец

 

Закономерности уплотнения и формообразования при СВС-прессовании контролируются двумя физическими процессами: теплообменом и пластическим деформированием заготовки и оболочки. Сначала рассмотрим процесс теплообмена, который предшествует процессу деформирования. Для быстрого и равномерного сжигания крупногабаритной шихтовой заготовки используется система многоточечного зажигания. Такой способ зажигания обеспечивает быстрое выравнивание температуры по объему заготовки на стадии синтеза-горения, и можно принять, что в начальный момент времени заготовка мгновенно нагревается до температуры горения Тг. В этом состоит отличие рассматриваемой задачи от задачи теплообмена при одноточечном зажигании, когда необходимо учитывать подвижность фронта горения и теплообмен за фронтом горения. Температурная задача формулируется следующим образом.

 

Заготовка в форме кольца толщиной h1, внешним радиусом R1 и внутренним радиусом r1 помещена в сыпучую оболочку и стальную матрицу. Размеры заготовки, оболочки и матрицы известны. В начальный момент времени температура заготовки равна температуре горения Тг, температура оболочки и инструмента – температуре среды TS. Требуется найти температурное поле Т(х, t) системы трех соприкасающихся тел в произвольный момент времени t цикла прессования. Здесь х – вектор координат точек системы. Расчетная схема приведена на рис. 6.7. В связи с осевой симметрией рассматривается половина меридионального сечения в цилиндрических координатах r и z.

Математическая постановка задачи осесимметричного теплообмена включает:

 

1) систему трех дифференциальных уравнений нестационарной теплопроводности в цилиндрических координатах

 

     Математическая постановка краевых задач теплообмена и пластического деформирования крупногабаритных колец, (6.4)

где Тi – температура тел; Сi – удельная теплоемкость; di – гравиметрическая плотность; liкоэффициент теплопроводности; t – время; i – индекс тела системы;

2) граничные условия:

на границах «заготовка-оболочка» и «оболочка-инструмент» условия четвертого рода

                   Математическая постановка краевых задач теплообмена и пластического деформирования крупногабаритных колец; T1(х, t) = T2(х, t);

                   Математическая постановка краевых задач теплообмена и пластического деформирования крупногабаритных колец; T2(х, t) =T3(х, t);                (6.5)

на границе «инструмент-окружающая среда» условия третьего
рода

                          Математическая постановка краевых задач теплообмена и пластического деформирования крупногабаритных колец + aт[T3(х, t) - TS] = 0,                       (6.6)

где aт – коэффициент теплоотдачи; n – нормаль к граничной поверхности;

3) начальные условия

                      Т1(х, 0) = Tг; Т2(х, 0) = TS; Т3(х, 0) = TS.                   (6.7)

Здесь, как и ранее, характеристики, относящиеся к заготовке, имеют индекс 1; к оболочке – индекс 2 и к инструменту – индекс 3. Зависимость теплофизических свойств от температуры не учитывалась, и решалась физически линейная задача.

 

В качестве компактируемого материала рассматривались продукты горения системы Ti-12%(мас.) В. Необходимые для решения задачи теплообмена теплофизические свойства продуктов СВС определялись расчетным путем. Согласно диаграмме состояния продуктом синтеза является твердый сплав состава TiB-40% (мас.) Ti. Температура горения Тг рассматриваемой системы составляет
Тг = 1800оС и превосходит эвтектическую температуру системы Ti-TiB, равную 1667 оС. Соответственно продукты синтеза при температуре горения представляют собой двухкомпонентную смесь твердых частиц моноборида титана TiB и боридотитанового расплава, который в свою очередь является двухкомпонентным раствором. Теплофизические свойства смесей рассчитывались по методике, изложенной в п. 2.1. Теплопроводность моноборида титана TiB не исследована, и поэтому использовались справочные данные для диборида титана TiB2 при температуре 1800 оС: Математическая постановка краевых задач теплообмена и пластического деформирования крупногабаритных колец= 100 Вт/м×К. Получены следующие значения теплофизических свойств продуктов синтеза: dСВС = 4,98 г/см3; lСВС = 53,8 Вт/м×К; ССВС = 873 Дж/кг×К. Эти величины относятся к компактному сплаву TiB-40% Ti. Текущие значения гравиметрической плотности d, коэффициента теплопроводности λ и удельной теплоемкости С уплотняемых продуктов синтеза и песчаной оболочки вычисляли по соотношениям, приведенным в разд. 2. Начальную относительную плотность продуктов синтеза r10 определяли из условия эквивалентности размеров синтезированной и шихтовой заготовок (см. формулу (2.11)). В экспериментах шихтовая заготовка спрессовывалась до относительной плотности rш = 0,66. При гравиметрической плотности беспористой шихты dш = 4,1 г/см3 и сплава TiB-40% Ti dСВС = 4,94 г/см3 расчетное значение начальной относительной плотности составляет r10 = 0,55.

Краевая задача пластического деформирования формулируется следующим образом. Горячая пористая заготовка, имеющая форму кольца, помещена в теплоизолирующую песчаную оболочку и в закрытую матрицу. Заготовка является сжимаемым нелинейно-вязким телом; оболочка – сыпучим материалом с хрупкими частицами. Заготовку вместе с оболочкой сжимают жестким пуансоном по заданной ступенчатой программе нагружения. Скорость перемещения пуансона v0 на этапе активного нагружения мала, и поле напряжений удовлетворяет условию квазистатичности. На границе заготовки и оболочки выполняется условие полного сцепления по всей поверхности контакта. На границе оболочки с инструментом действуют силы трения. Требуется определить конечные размеры и распределение плотности в материале заготовки и оболочки. Для описания процесса деформирования используется континуальная теория пластического течения сжимаемых сред. Решение сформулированной задачи состоит в нахождении в каждый момент времени t вектора скоростей v(x,t) и относительной плотности r(x, t) точек деформируемой среды. При осесимметричном деформировании поле скоростей определяется двумя компонентами вектора v: осевой скоростью vz(r, z, t) и радиальной скоростью vr(r, z, t). Расчетная схема представлена на рис. 6.7.

Математическая формулировка задачи неупругого деформирования включает соотношения Коши, уравнение неразрывности, уравнение равновесия, определяющие соотношения и приведена в подразд. 4.2. Для удобства дальнейшего изложения напомним вид определяющих соотношений для продуктов синтеза

             Математическая постановка краевых задач теплообмена и пластического деформирования крупногабаритных колец          (6.8)

и песчаной оболочки

 

                   Математическая постановка краевых задач теплообмена и пластического деформирования крупногабаритных колец.                (6.9)

К феноменологическим параметрам вязкого течения твердой фазы продуктов синтеза относятся коэффициент А и показатель нелинейности n. Кроме того, коэффициент А определяет температурную зависимость реологических свойств твердой фазы:

 

                                    Математическая постановка краевых задач теплообмена и пластического деформирования крупногабаритных колец,                               (6.10)

где Т – абсолютная температура; U – энергия активации; k – постоянная Больцмана; С – константа. В определяющих соотношениях песчаной оболочки (6.9) феноменологическим параметром является предел прочности частиц песка tb. Влияние температуры на прочность частиц песка и расчетная зависимость tb(Т) были рассмотрены в подразд. 4.1.

 

Выше уже отмечалось, что при температуре горения сплав TiВ–40% Ti находится в твердожидком состоянии. Напомним основные положения реологической модели пористого вязкого тела с жидкой фазой. В приближении идеальной жидкости сопротивление деформации оказывает только твердая фаза, и параметры a1, y и j в уравнениях (6.8) являются функциями объемной доли твердой фазы rS. Объемная доля твердой фазы rS связана с относительной плотностью r пористого твердожидкого тела соотношением

 

                                         rS = r (1 - mL).                                    (6.11)

 

Расчеты показали, что изменение объема расплава mL при охлаждении сплава TiB-40% Ti от температуры горения до эвтектической температуры можно аппроксимировать следующей линейной зависимостью:

 

                                 mL(Т) = 3,3×10-4 Т - 0,187.                            (6.12)

 

В зависимости mL(Т) температура выражена в градусах Кельвина. При охлаждении сплава ниже эвтектической температуры Тэвт происходит кристаллизация боридотитанового расплава и жидкая фаза исчезает. Температура Тэвт является равновесной температурой кристаллизации, и для начала кристаллизации необходима определенная степень переохлаждения. Принималось, что переохлаждение составляет 50o и при охлаждении от температуры Тэвт до температуры полной кристаллизации Ткр объемная доля жидкой фазы изменяется по линейному закону от mL(Тэвт) до mL(Ткр) = 0. Если объемная доля твердой фазы rS будет меньше теоретического значения насыпной относительной плотности, составляющей rSН = 0,53, то материал заготовки не оказывает сопротивления деформации.

Система разрешающих уравнений пластического деформирования дополняется начальными и граничными условиями. Принималось, что в начальный момент времени относительная плотность по объему заготовки 1 и оболочки 2 распределена однородно:

 

 

                                r1(x, 0) = r10; r2(x, 0) = r20.                           (6.13)

 

Рассмотрим граничные условия. На границе «заготовка-оболочка» принималось условие полного сцепления, которое представляет собой равенство скоростей на всей поверхности контакта:
vк1(x, t) = vк2(x, t).

 

На внешней границе оболочки при наличии трения имеют место смешанные граничные условия. Кинематическая часть граничных условий представляет собой условие непроницаемости инструмента (см. рис. 6.7):

 

 

         vr(r2, z, t) = 0; vz(r, 0, t) = 0; vz(r, h, t) = - v0; vr(R2, z, t) = 0.   (6.14)

 

Статическая часть граничных условий выражается законом трения на контактной поверхности через соотношение между нормальной sn и касательной t составляющими вектора поверхностных напряжений. Расчетные зависимости напряжения t для законов трения Кулона и Прандтля приведены в подразд. 4.2.

При ступенчатом нагружении происходит изменение граничных условий на пуансоне. На этапе активного нагружения пуансон перемещается с постоянной скоростью v0, и поэтому задавались кинематические граничные условия:

   vz(r, h, t) = - v0.                      (6.15)

На этапе выдержки с постоянным давлением q вместо кинематических граничных условий (6.15) задавались статические граничные условия:

   q(r, h, t) = qj,                         (6.16)

где qj – заданное давление прессования на j – том этапе ступенчатого нагружения.

Для описания нелинейно-вязкого течения продуктов синтеза необходимы количественные данные об энергии активации U, константе С и показателе течения n. В литературе этих данных для моноборида титана TiB и материалов на его основе нет. Искомые физические константы были определены  следующим  образом.  Индекс  течения  n для тугоплавких боридов равен n = 3. Это значение было принято и для моноборида титана. Энергию активации U находили, опираясь на правило Ле Клера, согласно которому для металлов с одинаковыми типом кристаллической решетки и валентностью отношение энергии активации к температуре плавления Тпл, выраженной в энергетических единицах пл, должно быть примерно постоянным. В работе показано, что это правило также выполняется для тугоплавких карбидов и боридов переходных металлов. В частности, для диборида титана TiB2 отношение U/kTпл равно значению 23,9. Из последнего соотношения для температуры плавления моноборида титана Тпл = 2500 К можно получить величину энергии активации U = 8,22×10-19 Дж. Величину постоянной С в уравнении (6.10) находили с привлечением экспериментальных данных работы. Для модели линейно-вязкого тела коэффициент сдвиговой вязкости m сплава TiB–40% Ti в интервале температур цикла прессования примерно постоянен и равен m = 570 МПа×с. В этой же работе приведены экспериментальные данные по скорости уплотнения dr1/dt для текущей относительной плотности заготовки r1, что позволяет из уравнения неразрывности вычислить скорость объемной деформации:

   Математическая постановка краевых задач теплообмена и пластического деформирования крупногабаритных колец.                       (6.17)

Из определяющих соотношений получим зависимость между скоростью объемной деформации и средним напряжением Математическая постановка краевых задач теплообмена и пластического деформирования крупногабаритных колецдля линейно-вязкого (n = 1) и нелинейно – вязкого тел соответственно:

 

   s = 2myе;                             (6.18)

 

   Математическая постановка краевых задач теплообмена и пластического деформирования крупногабаритных колец. (6.19)

Из условия равенства напряжений (6.18) и (6.19) в характерной точке температурно-временной траектории r1(T, t) можно найти искомую величину константы С. В качестве расчетной точки принимались параметры состояния для второго эксперимента в момент начала выдержки при давлении q = 106 МПа. В этот момент времени относительная плотность и скорость уплотнения соответственно равны r1 = 0,92 и dr1/dt = 0,0364 с-1. Из решения тепловой задачи получено, что в этот же момент времени средняя по объему температура заготовки составляет Т = 1660 оС и сплав содержит жидкую фазу в объеме mL = 0,327. Структурные характеристики продуктов синтеза a1, y и j рассчитывались по объемной доле твердой фазы rS, которая согласно (6.11) равна rS = 0,616. Данные о сдвиговой вязкости m в работе получены из модели одноосного прессования в жесткой матрице. В этом случае интенсивность скоростей деформации сдвига Н выражается через скорость объемной деформации е: Математическая постановка краевых задач теплообмена и пластического деформирования крупногабаритных колец. С использованием приведенных соотношений и их количественных оценок определили значение константы С для моноборида титана:
С = 2,97×10-32 м7×Н-2/с.

Поставленная краевая задача пластического деформирования решалась методом конечных элементов. Методика и алгоритм решения краевой задачи изотермического пластического деформирования со смешанными граничными условиями подробно рассмотрены в подразд. 4.2. При неизотермическом процессе в пределах каждого шага решения задачи пластического течения дополнительно выполняется шаг решения задачи нестационарного теплообмена.

 


Рейтинг@Mail.ru

Яндекс.Метрика